Racing Club

Alcaraz đã từng thi đấu cho Deportes Infantiles de Villa Elisa,[5] trước khi gia nhập học viện trẻ của Racing Club vào năm 2017.[6][7] Alcaraz ra mắt chuyên nghiệp cho Racing Club trong trận hòa 1–1 tại Giải vô địch bóng đá Argentina trước Atlético Tucumán vào ngày 26 tháng 1 năm 2020.[8]

Anh ghi bàn quyết định trong trận chung kết Cúp quốc gia Argentina 2022 gặp Boca Juniors ở phút thứ 118 của hiệp phụ thứ 2, nhưng cũng là người phải nhận 1 trong số 10 thẻ đỏ của trận đấu.[9]

Southampton

Vào tháng 1 năm 2023, anh ký bản hợp đồng 4 năm rưỡi với câu lạc bộ Southampton tại Giải bóng đá Ngoại hạng Anh.[10] Theo nhiều nguồn tin, Alcaraz đã được bán với giá 12 triệu bảng Anh và Racing Club cũng đảm bảo 15% cho một giao dịch mua bán tiềm năng trong tương lai.[11] Ngày 14 tháng 1, Alcaraz ra mắt cho đội bóng trong chiến thắng 2–1 trước Everton tại Giải bóng đá Ngoại hạng Anh, khi vào sân thay cho Roméo Lavia ở phút thứ 61.[12] Ngày 11 tháng 2, anh ghi bàn thắng đầu tiên cho đội bóng tại Premier League, trong trận thua 1-2 trước trên sân nhà Wolves, khi ghi bàn mở tỷ số ở phút thứ 24.[13]

Vào ngày 6 tháng 10 năm 2023, Alcaraz ký bản hợp đồng mới có thời hạn 5 năm.[14][15]

Cho mượn tại Juventus

Vào ngày 31 tháng 1 năm 2024, Alcaraz gia nhập câu lạc bộ Juventus tại Serie A dưới dạng cho mượn trong phần còn lại của mùa giải 2023–24.[16][17] Hợp đồng cho mượn được cho là bao gồm một tùy chọn mua trị giá 49,5 triệu euro.[18] Anh ra mắt câu lạc bộ vào ngày 5 tháng 2 năm 2024, trong trận thua 0-1 trước Inter Milan, vào sân thay thế cho Weston McKennie ở phút thứ 90.[19]